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区间变量的混合模型概率分析办法

 论文栏目:汽车工程发展论文     更新时间:2012-10-30 9:41:48   

本文作者:姜 潮 刘丽新 汤一飞 单位:湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室  三一重工股份有限公司

前言

传统的可靠性分析技术基于概率统计理论,但概率理论必须以大量样本的存在或事件具有可重复性为前提来得到完整的概率分布信息,而在许多实际工程问题中,由于信息量有限,很难精确得到一些变量的概率分布函数。文献[1]中的研究表明,概率模型参数的小偏差可导致结构可靠性计算出现较大的误差,而这种情况在结构失效概率很小时表现得更为明显[2-3]。文献[4]和文献[5]中提出了采用凸集模型来描述参数的不确定性,随后非概率可靠性模型的建立得到了很多学者的关注和研究[4-9]。而在许多实际工程问题中,往往存在这样的情况:一部分不确定量能够获得足够的信息量来描述其概率分布情况,因而适合于采用概率模型来描述;另一部分不确定量由于缺乏足够的样本数据或其他内在的原因,不能确定其概率分布形式,只能认为他们是未知但有界的变量[10]。因此,研究概率变量与未知但有界变量并存的混合模型具有重要的实际工程意义。目前国内外已有学者对混合模型的可靠性分析方法做了相关的研究:文献[11]中研究了不确定性的概率模型和凸模型的混合问题;文献[12]中提出了一种处理区间和概率混合情况下的可靠性优化方法;文献[13]中提出一种非概率可靠性的度量指标,可应用于椭球凸模型与区间变量并存的可靠性问题;文献[14]中提出了概率和非概率混合模型的结构鲁棒性设计方法;文献[15]中提出了概率-凸集混合模型下的可靠性概念及可靠性指标,能够对同时具有概率变量和未知但有界变量的结构进行可靠性度量;文献[16]中提出了一种序列迭代方法,通过区间分析和概率分析的反复迭代求解,使随机变量和区间变量同时收敛至最优解,是目前混合可靠性领域较为有效的一种求解方法。目前关于概率与非概率混合可靠性的研究仍处于初步阶段,现有的方法在求解效率和精度方面还存在一系列技术难点需要解决。尤其是混合模型可靠性分析通常涉及多层嵌套优化,其计算效率对于较复杂的工程问题将构成瓶颈。因此开发更为高效和实用的混合可靠性模型和算法显得尤为必要。本文中将区间分析技术和基于一次渐近积分[17]的传统概率分析方法相结合,提出了一种混合可靠性分析方法,可有效处理随机不确定性和区间不确定性并存的复杂结构的可靠性分析问题。该方法仅通过一次优化过程在原参数空间上搜索到概率密度的最大点,从而一定程度上避免了嵌套优化,提高了计算效率;另外,通过一次渐进积分方法直接在原空间内进行失效概率计算,也可避免概率变量正态化引入的非线性,较好地保证了可靠性分析的精度。最后,通过两个数值算例和一个工程应用验证了本文方法的有效性。

1传统的一次二阶矩可靠度分析

假设功能函数的表达式为式中‖•‖表示向量范数,通过上式获得U*,即为最大可能失效点(MPP),可靠度指标表示。

2概率-区间混合模型的可靠性分析

若结构中存在区间变量,则功能函数表达式为在全概率模型下,极限状态面将原空间分成可靠域和失效域两个区域。引入区间变量Y后,对于任何一个Y',都对应着一个极限状态面g(X,Y')=0。因而极限状态g(X,Y)=0在X空间中不再是唯一的曲面,而是由两个边界面maxYg(X,Y)=0和minYg(X,Y)=0构成的带状体,如图1所示。在实际工程应用中,结构的最大失效概率通常是人们最为关心和重视的指标,对工程技术人员也最有参考价值,所以在后面的分析中,将以最大失效概率来度量混合不确定性作用下的结构可靠性。

3结构最大失效概率的计算

通过两步求解结构最大失效概率:首先在原参数空间中确定出概率密度值最大的点;其次在该点进行线性近似,并通过一次渐近积分方法计算出结构的最大失效概率。如图1所示,原参数空间上的概率密度函数最大点应位于边界面minYg(X,Y)=0之上,并可通过构造如下优化问题进行求解。显然,式(13)为一个复杂的两层嵌套优化问题,内层为区间分析,外层为概率分析,其求解效率和收敛性通常不易保证。为此,将其转变为如下的等效优化问题。转换后的优化问题为传统的单层优化,可选择成熟的传统优化算法如序列线性规划、序列二次规划等进行高效求解。

4数值算例和工程应用

4.1悬臂梁如图2所示的悬臂梁,长度为l,横截面宽度为b,高度为h,悬臂梁的末端承受作用力Px和Py。梁的横截面尺寸l、b与h为随机变量,外力Px和Py为两个区间变量,其分布类型及取值如表1所示。选择材料的许用应力S与悬臂梁固定端处最大应力的差作为功能函数。表2是本文方法与序列迭代方法[16]计算结果的比较。两种方法都收敛到一致的可靠性解,且3个概率变量和两个区间变量的取值完全相同。序列迭代方法在计算过程中共调用功能函数的次数为144次,而本文方法为81次,计算结果表明本文方法具有较好的精度和计算效率。

4.2十杆桁架图3为十杆平面桁架结构,水平杆和竖直杆的长度l=9.144m,密度ρ=2768kg/m3,弹性模量E=68948MPa。该桁架左端固定,节点4受一个y向载荷F1,节点2处受到一个y向载荷F2和一个x向载荷F3。本算例中将设杆件的横截面积Ai(i=1,2,…,10)为随机变量,外载荷F1、F2、F3为区间变量,其分布类型及参数取值如表3所示。

4.3汽车侧撞问题侧面碰撞的缓冲区比较小,发生侧面碰撞时会发生很大的变形。在汽车侧撞过程中,影响乘员安全的主要因素是侧围结构的侵入量、侵入速度和侵入形态等[18]。侧围结构主要包括A柱、B柱、门槛和车门内外板等部件,其中B柱是侧面碰撞中的主要受力部件,因而在整个碰撞过程中B柱变形情况就显得非常重要。图4为某型轿车的侧撞模型,本文中将分析其B柱最大侵入量的可靠性。选择如图5所示的B柱内板厚度t1、B柱加强板厚度t2、门梁厚度t3和门梁加强板的厚度t4为随机变量,B柱内板材料的屈服极限σ1、B柱加强板材料的屈服极限σ2、门梁和门梁加强板材料的屈服极限σ3为区间变量,其分布类型及参数的取值如表5所示。侧撞问题的可靠性分析结果见表6,求得的最大失效概率为0.3434。通过分析结果可知,该车的侧撞性能可靠性较差。因为该车在碰撞的过程中B柱的最大侵入量远超过了允许值,车身侧围必然发生了较大的变形,从而造成乘员的生存空间减小,被伤害程度增大,因而须对该车结构进行改进。

5结论

本文中提出了一种带区间变量的结构可靠性分析方法。在全概率变量的基础上引入区间变量,结合一次渐近积分的传统概率分析方法,给出了求解混合模型最大失效概率的具体步骤,可对既有概率变量又有区间变量的混合模型进行可靠性分析。将本方法应用于两个数值算例和一个工程应用中的计算结果表明,该方法具有较高的计算效率和精度,且有望应用于实际工程结构的可靠性优化设计之中。


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